문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 관성 모멘트 (문단 편집) === 평행축 정리 === [[파일:나무_평행축정리_수정.png|width=150&align=center]] 평행축 정리(parallel-axis theorem)는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. 질량이 [math(M)]인 질점계의 질량중심을 [math(\textrm{CM})]이라 하고, 그 점을 수직으로 지나가는 회전축 [math(\textrm{I})]에서 측정된 계의 관성 모멘트를 [math(I_\textrm{CM})]이라 하자. 또, 계에서 [math(i)]번째 질점을 [math(m_{i})]라 놓고, 회전축 [math(\textrm{I})]를 기준으로 [math(i)]번째 질점까지의 위치 벡터를 [math(\mathbf{r'}_{i})][* 프라임은 회전축으로부터 측정된 벡터임을 강조하기 위한 것이다.]라 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle I_{\textrm{CM}} = \sum_{i=1}^{n} m_i (\mathbf{r'}_{i} \cdot \mathbf{r'}_{i})= \sum_{i=1}^{n} m_{i} {r\mathbf{'}}_{i}^{2})]}}} 이때, 축을 [math(\textrm{CM})]으로부터 [math(\mathbf{a})]만큼 평행이동한 회전축 [math(\textrm{II})]에서 측정된 관성 모멘트를 [math(I_\textrm{P})]라 하자. 이때, 축으로부터 질점까지의 거리 벡터는 [math(\mathbf{R'}_{i}=\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a})]가 된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle I_{\textrm{P}} = \sum_{i=1}^{n} m_i (\mathbf{R'}_{i} \cdot \mathbf{R'}_{i})= \sum_{i=1}^{n} m_{i} \left[ (\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a}) \right])]}}} 가 되고, 모든 항을 전개하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle I_{\textrm{P}} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} {r\mathbf{'}}_{i}^{2}+ \sum_{i=1}^{n} m_{i} a^{2}-2\mathbf{a} \cdot \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{r'}_{i} )]}}} [math(\mathbf{a})]는 constant vector이므로 시그마를 벗고 나올 수 있고, 제3항은 질량중심을 나타내는 벡터[*참고 총 질량이 [math(M)]인 질점계의 질량중심 벡터 [math( \displaystyle \mathbf{M} \equiv \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{r'}_{i})]이다.]와 관련된 것인데, [math(\mathbf{r'}_{i})]이 질량중심으로부터 측정된 벡터이기 때문에 제3항은 [math(0)]이 된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle I_{\textrm{P}} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} {r\mathbf{'}}_{i}^{2}+ \sum_{i=1}^{n} m_{i} a^{2})]}}} 이고, 제1항은 위에서 구했던 [math(I_\textrm{CM})]이고, 제2항의 [math( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i}=M)]으로써 질점계의 총 질량이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle I_{\textrm{P}} = I_{\textrm{CM}}+Ma^{2})]}}} 이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기